Tại sao lý thuyết Maxwell lại khó hiểu

 Đây là bản dịch của tôi cho bài báo ngắn “Why is Maxwell theory so hard to understand” của Freeman Dyson, đã được tác giả đồng ý chuyển ngữ.  Những ai quan tâm có thể dễ dàng tìm thấy bài báo gốc qua Google.

 ——————————————————————————————————————

 Tại sao lý thuyết Maxwell lại khó hiểu

PSM_V78_D529_James_Clerk_MaxwellKhiêm tn không phi lúc nào cũng là mt đức hnh

Vào năm 1865, James Clerk Maxwell công bố bài báo “Mt lý thuyết động lc học ca trường đin t trên tạp chí triết học của Hội Hoàng gia Anh. Khi ấy ông 34 tuổi. Chúng ta, với lợi thế đã biết trước, có thể thấy rõ rằng công trình của Maxwell là sự kiện quan trọng nhất của lịch sử khoa học vật lý trong thế kỷ 19. Nếu ta xem sinh học như là một bộ phận của vật lý học thì công trình của Maxwell chỉ xếp sau “Ngun gc các loài” của Darwin. Nhưng tầm quan trọng của công trình Maxwell lại không mấy hiển nhiên đối với các đồng nghiệp đương thời của ông. Trong hơn hai mươi năm, không mấy ai ngó ngàng tới lý thuyết điện từ của ông. Các nhà vật lý thời đó thấy rằng lý thuyết của Maxwell rất khó hiểu do những phương trình của ông rất phức tạp. Các nhà toán học thì thấy khó hiểu do Maxwell sử dụng ngôn ngữ vật lý để giải thích những phương trình đó. Nó được coi như một sự tư biện mù mờ, thiếu các bằng chứng thực nghiệm hỗ trợ. Nhà vật lý Micheal Pupin trong cuốn tự thuật của mình – “From Immigrant to Inventor – Từ một người lưu vong tới nhà phát minh” – đã kể lại việc, năm 1883, ông đã từ Mỹ sang Châu Âu để tìm kiếm xem có ai đó hiểu được lý thuyết của Maxwell không. Ông đã cất công đi tìm hiểu lý thuyết Maxwell giống như một kỵ sĩ đi tìm Chén Thánh vậy.

Trước tiên, Pupin tới Cambridge, và đăng ký là sinh viên, với nguyện vọng được học lý thuyết từ chính Maxwell. Sau khi biết rằng Maxwell đã mất, ông ở lại Cambridge và được giới thiệu với một trợ giảng. Nhưng vị trợ giảng này thậm chí còn không biết nhiều về lý thuyết Maxwell bằng ông và thực ra chỉ thích hướng dẫn Pupin giải các bài toán tripos (một kiểu bài thi học sinh giỏi toán của Cambridge). Pupin đã rất ngạc nhiên khi khám phá ra, như ông nói: “Sao mà có ít nhà vật lý hiểu lý thuyết Maxwell đến thế, mặc dù đã 20 năm sau khi ông phát biểu nó vào 1865”. Cuối cùng, Pupin rời Cambridge để tới Berlin và đăng ký theo học Hermann von Helmholtz. Helmholtz hiểu lý thuyết này và đã dạy Pupin những gì ông biết. Rồi Pupin trở lại New York, trở thành giáo sư đại học Columbia và dạy nhiều thế hệ sinh viên kế tiếp, những người đã góp phần phổ biến lý thuyết của Maxwell ra khắp nước Mỹ.

Tại sao lý thuyết Maxwell lại bị đối xử lạnh nhạt như thế ? Xét cho cùng, Maxwell đâu có như người cùng thời với ông, Gregor Mendel, một mục sư làm việc âm thầm trong một tu viện ít người biết đến ở Bohemia. Maxwell là giáo sư nổi tiếng, giám đốc phòng thí nghiệm Cavendish ở Cambridge, một nhân vật hàng đầu của cộng đồng khoa học Anh. Như một dấu hiệu về địa vị cao sang của Maxwell, ông đã là chủ tịch tiểu ban Toán Lý của Hiệp hội vì Sự tiến bộ của Khoa học Anh, khi hiệp hội này tổ chức một buổi gặp mặt thường niên ở Liverpool năm 1870. Tại đây, ông đã có một bài diễn văn với tư cách chủ tịch, được công bố trong số 2 của tạp chí Nature mới được thành lập trước đó ít lâu. Phong cách bài diễn văn của ông đã cho chúng ta thấy tại sao lý thuyết của Maxwell lại không được mọi người quan tâm đến một cách nghiêm chỉnh. Lẽ ra với bài thuyết trình với tư cách chủ tịch này, ông hoàn toàn có cơ hội để công bố với thế giới tầm quan trọng của các phát minh mà ông đã tìm ra 5 năm trước đó. Tuy nhiên, ông đã không làm như thế. Maxwell đã khiêm tốn một cách hết sức phi lý khiến ta phải bực mình.

Đầu tiên Maxwell thông báo về chủ đề bài thuyết trình của ông, một bài tổng quan về những tiến bộ lớn gần đây ở ranh giới giữa vật lý và toán học. Sau đó, ông nồng nhiệt nói về lý thuyết xoáy của các phân tử, mới được Sir William Thompson (người sau này trở thành Lord Kelvin) đề xuất: “Một lý thuyết mà Sir William đã xây dựng trên những định lý rất đẹp về thủy động lực học của Helmholtz, nhằm tìm kiếm những tính chất của các nguyên tử trong những vòng xoáy của một chất lỏng đồng chất, không ma sát, không chịu nén. Helmholtz đã chỉ ra rằng trong một chất lỏng lý tưởng, một vòng xoáy một khi được tạo ra sẽ quay mãi mãi, sẽ luôn chỉ gồm chính cái phần chất lỏng đã được đưa vào vòng xoáy lúc ban đầu, và nó không bao giờ có thể bị cắt thành hai bởi bất kỳ nguyên nhân tự nhiên nào. Các vòng xoáy này có khả năng kết nối đa dạng và tự tiến hóa theo kiểu thắt nút, khiến cho tính chất của các xoáy thắt nút theo cách khác nhau cũng sẽ phải khác nhau như tính chất của các phân tử vậy. Và cứ như thế Maxwell giải thích bằng cách nào mà lý thuyết cổ đại “vật chất được cấu thành từ các nguyên tử” trở thành một nghịch lý logic. Một mặt, nguyên tử được cho là rắn, không thể thâm nhập cũng như không thể phá hủy được. Mặt khác, những bằng chứng quang phổ và hóa học lại chỉ ra rằng nguyên tử còn có cấu trúc nội tại và chịu ảnh hưởng bởi các lực bên ngoài. Nghịch lý này đã tồn tại trong nhiều năm và chặn đứng những nỗ lực tìm hiểu bản chất của vật chất. Và bây giờ, cuối cùng, lý thuyết xoáy của các phân tử đã giải quyết được nghịch lý này. Các xoáy trong ê-te mềm mại và có cấu trúc nội tại, tuy nhiên, theo Helmholtz, chúng là đơn độc và không phá hủy được. Nhiệm vụ duy nhất còn lại là từ các định luật về tương tác giữa các vòng xoáy, mà thủy động lực học của một chất lỏng lý tưởng đã tiên đoán, phải suy ra được những sự kiện đã phát hiện thấy trong quang phổ và hóa học. Maxwell đã ca tụng lý thuyết xoáy của vật chất này như một ví dụ tuyệt vời về sự tương tác đầy hiệu quả giữa toán học và vật lý.

Không thể biết chắc Maxwell có thực sự tin vào những điều ông nói về lý thuyết xoáy hay không. Có lẽ ông có ý định dùng bài nói của mình giúp người nghe giải trí hơn là soi sáng cho họ. Ông vốn là người có óc hóm hỉnh kín đáo và có thể ông ca ngợi lý thuyết xoáy một cách châm biếm thâm trầm vì biết rằng các thính giả sáng suốt trong cử tọa sẽ hiểu rằng đây chỉ là một trò đùa. Chỉ đến khi kết thúc bài nói chuyện, Maxwell mới đề cập đến lý thuyết điện từ của mình. Ông nói về nó theo kiểu không mấy hứng thú, chỉ đơn giản: “Một lý thuyết khác về điện mà tôi ưa thích đã phủ nhận tương tác xa (tức tương tác trên khoảng cách), mà gán tác dụng điện cho sức căng và áp lực trong một môi trường tràn ngập không gian, các ứng suất này cũng cùng loại với những ứng suất đã quá quen thuộc với các kỹ sư, và môi trường này hoàn toàn đồng nhất với môi trường được coi là truyền ánh sáng. Cụm từ “Một lý thuyết khác về điện mà tôi ưa thích có vẻ như được sử dụng một cách có dụng ý để làm lu mờ đi thực tế đó là lý thuyết của chính ông. Không có gì đáng ngạc nhiên rằng thính giả của ông có ấn tượng với lý thuyết xoáy của Kelvin nhiều hơn các phương trình của Maxwell.

Bài học luân lý rút ra từ câu chuyện này là tính khiêm tốn không phải lúc nào cũng là một đức hạnh. Maxwell và Mendel đều khiêm tốn quá mức. Tính khiêm tốn của Mendel làm chậm lại quá trình phát triển của sinh học tới 50 năm, còn tính khiêm tốn của Maxwell làm vật lý chậm lại 20 năm. Sẽ là tốt hơn cho sự phát triển của khoa học nếu như các nhà khoa học có những khám phá vĩ đại không quá khiêm tốn mà phải mạnh dạn quảng bá các công trình của mình. Nếu Maxwell có cái tôi giống như Galileo hay Newton, ông chắc hẳn đã thấy công trình của ông được biết đến nhiều hơn. Maxwell là một nhà khoa học vĩ đại như Newton, nhưng tính cách thì dễ chịu hơn rất nhiều. Nhưng thực sự bất hạnh là ông đã không sử dụng bài nói chuyện với tư cách chủ tịch của mình ở Liverpool giống như Newton đã làm để quảng bá cho phần 3 của cuốn Những nguyên lý toán học (Principia Mathematica): “Từ chính những nguyên lý đó, giờ đây tôi chỉ còn phải diễn tả bộ khung của hệ thống của thế giới mà thôi”. Newton đã không nói tới định luật vạn vật hấp dẫn như là “một lý thuyết khác về hấp dẫn mà tôi ưa thích”.

Lý thuyết Maxwell và Cơ hc lượng t

Tất nhiên, bên cạnh tính khiêm tốn của Maxwell, còn có nhiều lý do khác khiến cho lý thuyết của ông khó hiểu. Ông thay thế vũ trụ kiểu Newton của các vật thể hữu hình tương tác xa với nhau (tức trên một khoảng cách) bởi một vũ trụ của các trường lan tỏa qua không gian và chỉ tương tác một cách định xứ với các vật thể hữu hình. Khái niệm trường là khó nắm bắt bởi chúng là không hữu hình, tức không nhìn thấy và không sờ mó được. Các nhà khoa học thời đó bao gồm cả chính Maxwell đã cố gắng hình dung trường như các cấu trúc cơ học, bao gồm rất nhiều các bánh xe nhỏ và các vòng xoáy lan truyền khắp không gian. Các cấu trúc này được cho là mang những ứng suất cơ học mà điện trường và từ trường truyền đi giữa các điện tích và dòng điện. Để làm cho các trường thỏa mãn các phương trình Maxwell, hệ thống những bánh xe và vòng xoáy phải cực kỳ phức tạp. Nếu thử hình dung lý thuyết Maxwell nhờ các mô hình cơ học này, thì nó sẽ gợi cho bạn nhớ tới thiên văn học của Ptolemy, với các hành tinh ngự trên các vòng tròn và các ngoại luân trên bầu trời. Nó không giống như mô hình thiên văn đẹp đẽ của Newton. Các phương trình Maxwell được viết với những ký hiệu cồng kềnh, rối rắm một cách nguy hiểm, nhưng mô hình cơ học của ông còn tồi tệ hơn thế. Đối với những người đương thời, lý thuyết của Maxwell chỉ là một trong số rất nhiều những lý thuyết về điện và từ thời bấy giờ. Nó lại rất khó hình dung và không hề có ưu thế rõ ràng so với các lý thuyết khác mô tả các lực điện và từ theo kiểu Newton như là một tác dụng trực tiếp từ xa giữa các điện tích và nam châm. Vì thế không có gì lạ là rất ít những người đương thời của Maxwell bỏ công ra học nó.

Lý thuyết của Maxwell sẽ trở nên đơn giản và dễ hiểu nếu như bạn từ bỏ tư duy về nó theo kiểu các mô hình cơ học. Thay vì xem các vật thể cơ học là chính yếu và các trường điện từ là hệ quả thứ yếu, bạn cần coi các trường điện từ là chính yếu và lực cơ học là phụ. Ý tưởng cho rằng thành phần chính yếu cấu thành nên vũ trụ là các trường không hề dễ hiểu đối với các nhà vật lý thế hệ Maxwell. Trường là một khái niệm trừu tượng, xa rời hẳn với thế giới quen thuộc của các vật thể và các lực. Các phương trình trường của Maxwell là các phương trình đạo hàm riêng. Chúng không thể được diễn tả bằng vài lời như định luật chuyển động của Newton, lực bằng khối lượng nhân gia tốc. Lý thuyết của Maxwell phải đợi đến thế hệ tiếp theo của vật lý, Hertz, Lorentz, và Einstein, mới hé lộ hết sức mạnh của nó và các khái niệm của nó mới trở nên rõ ràng. Thế hệ tiếp theo lớn lên với các phương trình của Maxwell và quen thuộc với một vũ trụ xây dựng từ các trường. Tính chính yếu của các trường đến rất tự nhiên với Einstein như là tính chính yếu các cấu trúc cơ học đối với Maxwell vậy.

Quan điểm hiện đại về thế giới xuất hiện trong lý thuyết của Maxwell là một thế giới với 2 lớp. Lớp thứ nhất, lớp của những thành phần cơ bản cấu thành nên thế giới, bao gồm các trường thỏa mãn các phương trình tuyến tính đơn giản. Lớp thứ hai, lớp của những gì chúng ta có thể cảm nhận và đo được một cách trực tiếp, bao gồm các ứng suất cơ học, năng lượng và lực. Hai lớp này liên kết với nhau bởi vì các đại lượng trong lớp thứ hai là các tổ hợp bậc 2 hoặc song tuyến tính của các đại lượng trong lớp thứ nhất. Để tính năng lượng hoặc ứng suất, bạn lấy bình phương độ lớn của điện trường, hoặc nhân một thành phần của trường với một thành phần khác. Cấu trúc hai lớp của thế giới là nguyên nhân cơ bản khiến lý thuyết Maxwell trở nên huyền bí và khó hiểu. Các đối tượng trong lớp thứ nhất, các đối tượng mà thực sự rất cơ bản, chúng đều là những trừu xuất mà các giác quan của chúng ta không thể tiếp cận trực tiếp được. Các đối tượng mà chúng ta có thể cảm nhận và sờ mó được nằm trong lớp thứ hai, và dáng điệu của chúng chỉ được xác định gián tiếp qua các phương trình xác định trong lớp thứ nhất. Cấu trúc hai lớp của thế giới chỉ ra rằng các quá trình cơ bản của tự nhiên ẩn giấu trước con mắt của chúng ta.

Bây giờ ta cứ giả định rằng điện trường và từ trường đều trừu tượng và không thể quy giản về các mô hình cơ học. Để thấy rằng điều này là đúng chúng ta chỉ cần nhìn vào các đơn vị đo của điện và từ trường. Đơn vị đo độ lớn thông thường của điện trường là căn bậc hai của jun trên mét khối. Jun (J) là đơn vị đo năng lượng và mét (m) là đơn vị đo chiều dài, nhưng căn bậc hai của jun thì không là đơn vị đo của bất kỳ thứ gì sờ mó được. Chúng ta không thể tưởng tượng ra cách nào có thể đo được trực tiếp căn bậc hai của jun. Như vậy, đơn vị của điện trường là một trừu xuất toán học, nó được chọn lựa sao cho bình phương độ lớn của điện trường bằng mật độ năng lượng có thể đo bằng các dụng cụ thực. Đơn vị của mật độ năng lượng là jun trên mét khối, và bởi vậy chúng ta nói đơn vị độ lớn của trường bằng căn bậc hai của jun trên mét khối. Điều này không có nghĩa rằng độ lớn của trường có thể đo bằng căn bậc hai của cái nhiệt lượng kế. Điều này có nghĩa là độ lớn của điện trường là một đại lượng trừu tượng, vô ước với các đại lượng mà chúng ta có thể đo trực tiếp.

Sáu mươi năm sau khi Maxwell công bố lý thuyết của ông, Schrodinger, Heisenberg và Dirac khám phá ra cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử được chấp nhận nhanh hơn rất nhiều so với lý thuyết của Maxwell bởi vì nó có rất nhiều các tiên đoán rất xác định về các quá trình trong nguyên tử và các thí nghiệm cho thấy những tiên đoán đó là chính xác. Trong vòng một hoặc hai năm, mọi người đều tin rằng cơ học lượng tử là một công cụ thực hành để tính toán các quá trình cơ bản của vật lý và hóa học. Rõ ràng là, tự nhiên đã tuân theo các định luật của cơ học lượng tử. Tuy nhiên, ý nghĩa của cơ học lượng tử vẫn còn là một vấn đề gây tranh cãi. Mặc dù cơ học lượng tử nhanh chóng được chấp nhận, nhưng người ta lại không không nhanh chóng hiểu được nó. Những khác biệt gay gắt về quan điểm trong việc giải thích cơ học lượng tử tồn tại dai dẳng tới 70 năm. Để hiểu được hoàn toàn các phương trình Maxwell người ta phải mất 30 năm, nhưng chúng ta ít nhất phải mất gấp đôi số thời gian đó để có một cách hiểu nhất trí về cơ học lượng tử. Vẫn còn những tranh cãi gay gắt giữa những người tin vào các cách giải thích khác nhau của cơ học lượng tử, như cách giải thích Copenhagen, cách giải thích đa thế giới, cách giải thích mất kết hợp, cách giải thích dùng các biến ẩn, và rất nhiều cách giải thích khác nữa. Nguyên nhân của những tranh cãi này là do những người giải thích khác nhau đều cố gắng mô tả thế giới lượng tử bằng ngôn ngữ thông thường, nhưng thứ ngôn ngữ này không phù hợp với mục đích đó. Ngôn ngữ hàng ngày diễn tả thế giới mà con người đối diện. Kinh nghiệm của chúng ta về thế giới hầu như chỉ liên quan đến các đối tượng vĩ mô, xử sự theo các định luật của vật lý cổ điển. Tất cả các khái niệm xuất hiện trong ngôn ngữ của chúng ta đều là cổ điển. Mỗi cách giải thích cơ học lượng tử đều là một cố gắng diễn tả thế giới lượng tử bằng một ngôn ngữ thiếu vắng các khái niệm phù hợp. Cuộc chiến giữa các cách giải thích đối địch sẽ còn kéo dài và chưa hề có dấu hiệu sẽ chấm dứt.

Có thể sẽ hữu ích cho việc tìm hiểu cơ học lượng tử nếu chúng ta nắm bắt được sự tương tự giữa cơ học lượng tử và lý thuyết Maxwell. Bằng hai cách, lý thuyết Maxwell cho ta chìa khóa để khám phá các bí ẩn của cơ học lượng tử. Thứ nhất, những cố gắng để hiểu cơ học lượng tử theo ngôn ngữ dựa trên các khái niệm cổ điển cũng tương tự như việc cố gắng để hiểu lý thuyết Maxwell theo các mô hình cơ học. Lý thuyết Maxwell trở nên hài hòa và dễ hiểu chỉ sau khi từ bỏ những cố gắng diễn tả trường điện từ bằng mô hình cơ học. Tương tự như vậy, cơ học lượng tử sẽ trở nên trong sáng và dễ hiểu nếu ta từ bỏ việc mô tả nó bằng các từ ngữ. Để thấy vẻ đẹp của lý thuyết Maxwell, chúng ta cần giã từ các mô hình cơ học và đi vào thế giới trừu tượng của trường. Để thấy vẻ đẹp của cơ học lượng tử, chúng ta cần phải từ bỏ việc mô tả bằng lời và đi vào thế giới trừu tượng của hình học. Toán học là ngôn ngữ của tự nhiên, ngôn ngữ toán học làm cho thế giới các trường của Maxwell và thế giới các quá trình lượng tử trở nên trong suốt như nhau.

Mối liên hệ thứ hai giữa lý thuyết Maxwell và cơ học lượng tử là sự tương tự sâu sắc về cấu trúc. Giống như lý thuyết Maxwell, cơ học lượng tử chia thế giới thành hai lớp. Lớp thứ nhất chứa các hàm sóng của Schrodinger, các ma trận của Heisenberg và các véc-tơ trạng thái của Dirac. Các đại lượng trong lớp thứ nhất tuân theo các phương trình tuyến tính đơn giản. Dáng điệu của chúng có thể được tính toán một cách chính xác. Nhưng chúng ta không quan sát được chúng một cách trực tiếp. Lớp thứ hai bao gồm xác suất của các va chạm và chuyển hóa của các hạt, cường độ và phân cực của bức xạ, giá trị kỳ vọng của năng lượng và spin của các hạt. Những đại lượng trong lớp thứ hai có thể quan sát được trực tiếp nhưng không tính được trực tiếp. Chúng không tuân theo các phương trình đơn giản. Chúng hoặc là bình phương của các đại lượng thuộc lớp thứ nhất hoặc là tích của 2 đại lượng nào đó trong lớp thứ nhất. Trong cơ học lượng tử, cũng như trong lý thuyết Maxwell, Tự nhiên sống trong thế giới toán học trừu tượng của lớp thứ nhất nhưng chúng ta, con người, lại sống trong thế giới cơ học cụ thể của lớp thứ hai. Chúng ta chỉ có thể mô tả Tự nhiên bằng ngôn ngữ toán học trừu tượng bởi vì ngôn từ bằng lời thông thường của chúng ta chỉ có thể mô tả lớp thứ hai. Giống như trong trường hợp lý thuyết Maxwell, phẩm chất trừu tượng của các đại lượng thuộc lớp thứ nhất được hé lộ thông qua các đơn vị dùng để biểu thị chúng. Ví dụ, phương trình sóng Schrodinger được biểu thị qua đơn vị bằng căn bậc 2 của nghịch đảo của mét khối. Chỉ một thực tế này thôi cũng cho thấy rõ ràng rằng hàm sóng là một thực thể trừu tượng, mãi mãi ẩn giấu dưới con mắt chúng ta. Không ai có thể đo trực tiếp được căn bậc hai của một mét khối cả.

Điểm quan trọng cuối cùng của lý thuyết Maxwell còn vượt xa thành công trực tiếp trong việc giải thích và thống nhất các hiện tượng điện và từ. Điểm quan trọng cuối cùng ấy là ở chỗ: nó chính là nguyên mẫu cho tất cả các thành công vĩ đại của vật lý thế kỷ 20. Nó là nguyên mẫu cho lý thuyết tương đối của Einstein, cho cơ học lượng tử, cho lý thuyết Yang-Mills về các bất biến chuẩn (gauge) tổng quát, và cho lý thuyết thống nhất của các trường và hạt, được biết đến dưới cái tên Mô hình chuẩn của vật lý hạt. Tất cả những lý thuyết này dựa trên các khái niệm trường động lực, mà Maxwell đã đưa ra vào năm 1865. Tất cả chúng đều có cấu trúc hai lớp, chia tách thế giới của các phương trình động lực đơn giản ra khỏi thế giới quan sát được của con người. Tất cả những lý thuyết đó đều thể hiện cùng một phẩm chất trừu tượng hóa toán học, điều đã làm cho lý thuyết Maxwell trở nên khó nắm bắt đối với những người đương thời với ông. Chúng ta hy vọng rằng sự hiểu biết sâu sắc lý thuyết Maxwell sẽ xua tan màn sương mù những hiểu nhầm bao quanh sự giải thích cơ học lượng tử. Chúng ta cũng hy vọng rằng sự hiểu biết sâu sắc ấy sẽ dẫn chúng ta đến những thành công to lớn hơn của vật lý học trong thế kỷ 21.

Advertisements

3 comments

  1. […] Source: Tại sao lý thuyết Maxwell lại khó hiểu […]

    Like

  2. Mặc dù cơ học lượng tử nhanh chóng được chấp nhận, nhưng người ta lại không không nhanh chóng hiểu được nó.

    Dư một chữ không rồi bạn ơi.

    Liked by 1 person

    1. Cám ơn bạn đã đọc kỹ. Bài dài quá nên tự biên tập vẫn sót.

      Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: